درباره مونودرمي هميلتوني

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

رياضي كاربردي

كارشناسي ارشد

ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﮐﻪ ﻧﺨﺴﺘﯿﻦ ﺑﺎﺭ ﺗﻮﺳﻂ ﺩﻭﺋﯿﺴﺘﺮ ﻣﺎﺕ ﺩﺭ ﺳﺎﻝ 1980 ﻣﻌﺮﻓﯽ ﺷﺪ، ﯾﮏ ﻣﺎﻧﻊ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮﮊﯾﮏ ﺑﻨﯿﺎﺩﯾﻦ ﺑﺮﺍﯼ ﻭﺟﻮﺩ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﻋﻤﻞ–ﺯﺍﻭﯾﻪ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﺩﺭ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﻫﻤﯿﻠﺘﻮﻧﯽ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮ ﺍﺳﺖ. ﺑﺮ ﺧﻼﻑ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻮﺿﻌﯽ ﻟﯿﻮﻭﯾﻞ–ﺁﺭﻧﻮﻟﺪ ﮐﻪ ﻭﺟﻮﺩ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎﯼ ﻋﻤﻞ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﭼﻨﺒﺮﻩ ﻫﺎﯼ ﻧﺎﻭﺭﺩﺍﯼ ﻣﻨﻈﻢ ﺗﻀﻤﯿﻦ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ، ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺩﻟﯿﻞ ﻭﺟﻮﺩ ﺗﺎﺭﻫﺎﯼ ﺗﮑﯿﻦ ﺩﺭ ﺗﺎﺭﺑﻨﺪﯼ ﻟﯿﻮﻭﯾﻞ، ﺍﯾﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﮐﻠﯽ ﻧﻤﯽ ﺗﻮﺍﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﺍﺩﺍﻣﻪ ﯾﺎﺑﻨﺪ. ﺍﯾﻦ ﻣﺎﻧﻊ ﻋﻤﯿﻘﺎﹰ ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎﺭ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺍﺳﺖ ﻭ ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﯾﮏ ﻧﺎﻭﺭﺩﺍﯼ ﮐﻠﯿﺪﯼ ﺑﺮﺍﯼ ﺗﻤﺎﯾﺰ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻣﻮﺿﻌﺎﹰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮﺩ. ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺁﺷﮑﺎﺭ ﻣﯽ ﺳﺎﺯﺩ ﮐﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺣﻀﻮﺭ ﺗﮑﯿﻨﮕﯽ ﻫﺎ ﺩﺭ ﺗﺎﺭﺑﻨﺪﯼ ﺑﺮ ﺩﯾﻨﺎﻣﯿﮏ ﻭ ﺧﻮﺩ ﺍﻣﮑﺎﻥ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﯽ ﮔﺬﺍﺭﺩ ﻭ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﻋﻤﯿﻖ ﻣﯿﺎﻥ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻣﻮﺿﻌﯽ ﻭ ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﺭﺍ ﺁﺷﮑﺎﺭ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. ﺍﯾﻦ ﭘﺎﯾﺎﻥ ﻧﺎﻣﻪ ﻣﺮﻭﺭﯼ ﻧﻈﺎﻡ ﻣﻨﺪ ﺑﺮ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﻭ ﻧﻘﺶ ﺁﻥ ﺩﺭ ﻫﻨﺪﺳﻪ ﻭ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮﮊﯼ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ. ﺍﺑﺘﺪﺍ ﭼﺎﺭﭼﻮﺏ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﺭﺍ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ، ﺑﺎ ﺗﺄﮐﯿﺪ ﻭﯾﮋﻩ ﺑﺮ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﺑﺎ ﺩﻭ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﯼ، ﺟﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﭘﯿﺮﺍﻣﻮﻥ ﺗﮑﯿﻨﮕﯽ ﻫﺎﯼ ﮐﺎﻧﻮﻥ–ﮐﺎﻧﻮﻥ ﭘﺪﯾﺪﺍﺭ ﻣﯽ ﺷﻮﺩ ﻭ ﺳﺎﺯﻭﮐﺎﺭ ﺍﺻﻠﯽ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬﯽ ﺭﺍ ﺭﻭﺷﻦ ﻣﯽ ﺳﺎﺯﺩ. ﻫﻨﮕﺎﻣﯽ ﮐﻪ ﮐﻮﺷﺶ ﻣﯽ ﺷﻮﺩ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎﯼ ﻋﻤﻞ ﺩﺭ ﺍﻣﺘﺪﺍﺩ ﯾﮏ ﺣﻠﻘﻪ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺩﻭﺭ ﺍﯾﻦ ﺗﮑﯿﻨﮕﯽ ﻫﺎ ﺍﺩﺍﻣﻪ ﺩﺍﺩﻩ ﺷﻮﻧﺪ، ﺁﻧﻬﺎ ﺩﺳﺖ ﺧﻮﺵ ﯾﮏ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺧﻄﯽ ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬﯽ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﯾﮏ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺻﺤﯿﺢ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﻣﯽ ﮔﺮﺩﺩ. ﺍﯾﻦ ﭘﺪﯾﺪﻩ ﻧﺨﺴﺘﯿﻦ ﺑﺎﺭ ﺩﺭ ﺁﻭﻧﮓ ﮐﺮﻭﯼ ﻣﺸﺎﻫﺪﻩ ﺷﺪ ﻭ ﺑﻌﺪﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻭﯾﮋﮔﯽ ﻋﺎﻡ ﺍﺯ ﺑﺴﯿﺎﺭﯼ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﻓﯿﺰﯾﮑﯽ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﮔﺮﺩﯾﺪ ﻭ ﮔﻮﯾﺎﯼ ﺁﻥ ﺍﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻣﻮﺿﻌﯽ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎﯼ ﻋﻤﻞ، ﻭﺟﻮﺩ ﺳﺮﺍﺳﺮﯼ ﯾﮑﺘﺎﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﺭﺍ ﺗﻀﻤﯿﻦ ﻧﻤﯽ ﮐﻨﺪ. ﺳﭙﺲ ﺳﻪ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﻣﻬﻢ ﺭﺍ ﻣﻌﺮﻓﯽ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ. ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﮐﻮﺍﻧﺘﻮﻣﯽ ﺧﻮﺩ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻃﯿﻒ ﻣﺸﺘﺮﮎ ﻋﻤﻠﮕﺮﻫﺎﯼ ﮐﻮﺍﻧﺘﻮﻣﯽ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﭘﺬﯾﺮ ﺍﺯ ﻃﺮﯾﻖ ﻧﻘﺺ ﻫﺎ ﺩﺭ ﺷﺒﮑﻪ ﻣﻘﺎﺩﯾﺮ ﻭﯾﮋﻩ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ ﻭ ﭘﻠﯽ ﺑﯿﻦ ﻣﮑﺎﻧﯿﮏ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﻭ ﮐﻮﺍﻧﺘﻮﻣﯽ ﺍﯾﺠﺎﺩ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﮐﺴﺮﯼ، ﺩﺭ ﺣﻀﻮﺭ ﺗﮑﯿﻨﮕﯽ ﻫﺎﯼ ﻫﺬﻟﻮﻟﻮﯼ، ﺍﻣﮑﺎﻥ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﺎﯼ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺑﺎ ﺿﺮﺍﯾﺐ ﮔﻮﯾﺎ ﺭﺍ ﻓﺮﺍﻫﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﻭ ﻧﻈﺮﯾﻪ ﺭﺍ ﻓﺮﺍﺗﺮ ﺍﺯ ﻧﺎﻭﺭﺩﺍﻫﺎﯼ ﺻﺤﯿﺢ ﮔﺴﺘﺮﺵ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ ﻭ ﺳﺎﺧﺘﺎﺭﻫﺎﯼ ﺟﺒﺮﯼ ﻏﻨﯽ ﺗﺮﯼ ﺭﺍ ﺁﺷﮑﺎﺭ ﻣﯽ ﺳﺎﺯﺩ. ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﭘﺮﺍﮐﻨﺪﮔﯽ ﺑﺮﺍﯼ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﭘﺮﺍﮐﻨﺪﮔﯽ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎﯼ ﻧﺎﻭﺭﺩﺍﯼ ﻏﯿﺮﻓﺸﺮﺩﻩ ﺻﻮﺭﺕ ﺑﻨﺪﯼ ﻣﯽ ﺷﻮﺩ ﻭ ﺩﺍﻣﻨﻪ ﮐﺎﺭﺑﺮﺩ ﻧﻈﺮﯾﻪ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺭﺍ ﺑﻪ ﻃﺒﻘﻪ ﻭﺳﯿﻊ ﺗﺮﯼ ﺍﺯ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﺩﯾﻨﺎﻣﯿﮑﯽ ﮔﺴﺘﺮﺵ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ. ﺍﯾﻦ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﻫﺎ ﻧﻈﺮﯾﻪ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺯﻣﯿﻨﻪ ﻫﺎﯼ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﺗﺮﯼ ﺑﺴﻂ ﺩﺍﺩﻩ ﻭ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎﯼ ﺟﺪﯾﺪﯼ ﺍﺯ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﭘﺬﯾﺮ ﺭﺍ ﺁﺷﮑﺎﺭ ﻣﯽ ﺳﺎﺯﻧﺪ ﮐﻪ ﺍﺯ ﻃﺮﯾﻖ ﭼﺎﺭﭼﻮﺏ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﯾﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﺩﺳﺘﺮﺳﯽ ﻧﺒﻮﺩﻧﺪ. ﺩﺭ ﭘﺎﯾﺎﻥ، ﺍﯾﻦ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺑﺎ ﻣﺜﺎﻝ ﻫﺎﯾﯽ ﻫﻤﭽﻮﻥ ﺁﻭﻧﮓ ﮐﺮﻭﯼ ﻭ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻄﺮﯼ ﺷﺎﻣﭙﺎﯾﻦ ﺗﺸﺮﯾﺢ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ. ﺁﻭﻧﮓ ﮐﺮﻭﯼ ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻣﺜﺎﻝ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ ﯾﮏ ﺗﮑﯿﻨﮕﯽ ﮐﺎﻧﻮﻥ–ﮐﺎﻧﻮﻥ، ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬﯽ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻄﺮﯼ ﺷﺎﻣﭙﺎﯾﻦ ﻧﯿﺰ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺁﻣﻮﺯﻧﺪﻩ ﺩﯾﮕﺮﯼ ﺍﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻢ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﮐﻼﺳﯿﮏ ﻭ ﻫﻢ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﮐﻮﺍﻧﺘﻮﻣﯽ ﺭﺍ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﯽ ﺩﻫﺪ. ﭼﻨﺪﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎﺯ ﻭ ﺟﻬﺖ ﮔﯿﺮﯼ ﻫﺎ ﺑﺮﺍﯼ ﭘﮋﻭﻫﺶ ﻫﺎﯼ ﺁﯾﻨﺪﻩ ﺑﯿﺎﻥ ﻣﯽ ﮔﺮﺩﻧﺪ، ﺍﺯ ﺟﻤﻠﻪ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﻫﺎ ﺑﻪ ﺍﺑﻌﺎﺩ ﺑﺎﻻﺗﺮ، ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪﯼ ﺍﻧﻮﺍﻉ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ، ﻭ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﯼ ﺟﺪﯾﺪ ﺑﺮﺍﯼ ﺷﻨﺎﺳﺎﯾﯽ ﻣﻮﻧﻮﺩﺭﻣﯽ ﺩﺭ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯼ ﭘﯿﭽﯿﺪﻩ ﺗﺮ.

237216

معادلات ديفرانسيل و سيستم‌هاي ديناميكي

رياضي

دانشگاه صنعتي اصفهان