عنوان
الگوريتم‌هاي كاهش در زمان چندشبكه‌اي براي حل معادلات با مشتقات جزئي كسري
نويسنده اصلي
فروزنده هفشجاني، علي
محل تحصيل
اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان
رشته تحصيلي
رياضي كاربردي
مقطع تحصيلي
كارشناسي ارشد
چكيده
امروزه معادلات ديفرانسيل جزئي كسري (FPDE) كاربردهايي در مسائل دنياي واقعي در حوزه‌هاي علوم و مهندسي پيدا كرده‌اند.
اين محبوبيت از ويژگي غيرموضعي مشتق كسري در مقايسه با ماهيت موضعي بودن مشتق مرتبه صحيح نتيجه مي‌شود.
يكي از مهم‌ترين FPDEها، معادله انتشار كسري-مكاني (SFD) است كه در مدل‌سازي انتشار غيرعادي، بررسي پديده‌هاي زيرانتشار و توصيف ديناميك‌هاي آشوبي كاربرد دارد.
معادله SFD با بعد دو مكاني به‌عنوان يك معادله انتشار كليدي شناخته مي‌شود.
اين معادلات از تعميم مشتقات مكاني مرتبه صحيح به مرتبه كسري در معادله ديفرانسيل مشتقات جزئي حاصل مي‌شود.
از آنجا كه اكثر معادلات SFD به‌صورت تحليلي قابل حل نيستند، روش‌هاي عددي مختلفي مانند روش تفاضل متناهي، رويكرد گالركين ناپيوسته موضعي و روش عناصر متناهي (FEM) براي دستيابي به دقت و كارايي بالا پيشنهاد شده‌اند.
با توجه به اين نكته كه مشتقات كسري برخلاف مشتقات صحيح غيرموضعي هستند.
در نتيجه صرف نظر از روش گسسته‌سازي مورد استفاده، حجم زيادي از محاسباتي به دليل غيرموضعي بودن عملگرهاي ديفرانسيل كسري مورد نياز است.
بسياري از محققان بر روي توسعه الگوريتم‌هاي سريع براي مقابله با اين چالش كار كرده‌اند.
علاوه بر اين راه‌حل‌هاي سريع، رويكردهاي محاسباتي موازي مانند كاهش در زمان چندشبكه‌اي (MGRIT) نيز بايد به‌عنوان روش‌هاي مؤثر در نظر گرفته شوند.
در اين پايان‌نامه، با بحث در مورد مفاهيم اساسي در آناليز تابعي، از جمله فضاهاي برداري، فضاهاي تابع و فضاهاي سوبولف و همچنين اصول حسابان كسري شروع مي‌كنيم و توضيح مي‌دهيم كه مشتق‌ها و انتگرال‌هاي كسري، پايه‌هاي حسابان كسري هستند و مشتق كسري ريس به‌طور مخصوص براي كاربردهاي حوزه مكاني مورد علاقه است.
در ادامه فضاهاي كسري مختلف مانند فضاهاي سوبولف كسري را بيان كرده و خواص آن‌ها را بررسي مي‌كنيم و به فضاهاي مرتبط با FPDEها نيز اشاره مي‌كنيم.
پس از آن، مسئله SFD را با شرايط مرزي ديريكله بررسي مي‌كنيم.
حال FEM را بيان كرده و خواص آن را توضيح مي‌دهيم.
سپس شكل ضعيف معادله SFD را مي‌سازيم و گسسته‌سازي مكاني-زماني را با استفاده از گسسته‌سازي مكاني يكنواخت و گسسته‌سازي زماني غيريكنواخت اعمال مي‌كنيم.
اين فرايند موجب توليد يك دستگاه بزرگ و تنك از معادلات مي‌شود.
براي حل عددي معادله SFD، روش را به‌عنوان يك حلقه پيشرو زماني نشان مي‌دهيم كه در آن يك دستگاه خطي در بعد مكاني در هر مرحله زماني حل مي‌شود.
اين حلقه پيشرو زماني به‌عنوان يك روش تك‌گامي در زمان نيز عمل مي‌كند و معادل با حل يك دستگاه بلوكي دوقطري پايين مثلثي در بعد زمان است.
پس روش‌هاي مختلفي را براي موازي‌سازي زماني مورد بحث قرار مي‌دهيم و يك تاريخچه مختصر ارائه مي‌كنيم.
يكي از روش‌هاي قابل توجه، MGRIT است كه از رويكرد كاهش چندشبكه‌اي استفاده مي‌كند.
روش MGRIT دو مزيت قابل توجه دارد: استقلال نسبي از كدهاي موجود و مقياس‌بندي الگوريتمي بهينه.
در ادامه، از نسخه دوسطحي MGRIT براي حل آن دستگاه بلوكي دوقطري پايين مثلثي استفاده كرده و به تحليل عملكرد همگرايي روش مي‌پردازيم.
در نهايت يك مثال عددي را در MATLAB و XBraid پياده‌سازي كرده و عملكرد روش‌هاي عددي را بررسي مي‌كنيم.
نتايج نشان مي‌دهد كه روش سازگاري و همگرايي كافي را براي حل‌هاي عددي چنين معادلات SFD نشان مي‌دهد و مي‌توان آن را براي حل برخي FPDEهاي پيچيده گسترش داد.
شماره ركورد
232237
گرايش رشته تحصيلي
آناليز عددي
دانشكده
رياضي
دانشگاه
دانشگاه صنعتي اصفهان