مسئله‌ي باغ در خم‌هاي بيضوي روي ميدان‌هاي متناهي

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

رياضي

كارشناسي ارشد

مسئله باغ به صورت چگونگي كاشت تعدادي درخت در يك باغ با حداكثر تعداد رديف هاي ممكن به طوري كه در هر رديف دقيقاً 3 درخت وجود داشته باشد، مطرح شده است. اين مسئله در قالب نقطه و نقطه n آرايش يكمجموعه از 􀀀(n; t) خط قابل بيان است و با نام مسئله كلاسيكباغ معرفي شده است. يك خط 3-نقطه، خطوطي كه شامل دقيقاً 3 نقطه از مجموعه نقاط هستند، در صفحه ي تصويري حقيقي تعريف t و مي شود. مسئله كلاسيك باغ مسئله ي يافتن يك آرايش در صفحه ي تصويري حقيقي با بيشترين تعداد خطوط بيشترين تعداد t نقطه، n آرايش، بهينه است هرگاه براي 􀀀(n; t) است. يك n 3-نقطه براي هر مقدار داده شده نمايش داده مي شود. Or(n) = t خطوط 3-نقطه باشد؛ جواب مسئله باغ با نماد نقطه به طوري كه هر خط گذرنده از هر دو نقطه آن از نقطه سوم اين مجموعه عبور n مجموعه اي شامل مي كند را در نظر مي گيريم. آيا همه نقاط اين مجموعه روي يك خط قرار دارند؟ اين سوال توسط سيلوستر در سال 1893 مطرح شد. پس از سيلوستر، اردوش و گالايي مسئله وجود خط معمولي، خطي كه شامل دقيقاً دو نقطه از مجموعه نقاط است را مطرح كردند. پساز اثبات وجود خطوط معمولي، سوال بعدي در مورد تعداد اين خطوط براساس تعداد اعضاي مجموعه نقاط مطرح شد. ابتدا ملكير در سال 1944 ثابت كرد كه حداقل 3 خط معمولي وجود دارد. سپس كران هاي پايين براي تعداد خطوط معمولي توسط كيلي، موزر، هنسن، سيما، ساوير، n ديراك و موتزكين مطرح شد. ديراك و موتزكين حدس خود را بدين گونه مطرح كردند. يك مجموعه شامل خط معمولي است. گرين و n نقطه به طوري كه همه نقاط اين مجموعه روي يك خط قرار ندارند، شامل حداقل 2 تائو در سال 2013 حدس ديراك و موتزكين را براي خطوط معمولي ثابت كردند. از اين كران براي كران بالاي تعداد خطوط 3-نقطه، استفاده كردند. 1 يك كران پايين براي مسئله باغ ارائه كرد. توسط سيلوستر نشان داده شد سيلوستر در سال 868 توسط بئ ر ، Or(n) ⌋n(n 􀀀 3) 6 ⌋ + . در سال 1973 نامساوي 1 Or(n) ⌋(n 􀀀 1)(n 􀀀 2) 6 ⌋ گرونباو م و اسلون نشان داده شد. نقطه عطف تاريخي اين مسئله زماني اتفاق افتاد كه مورد توجه گرين و تائو قرار گرفت؛ اين دو رياضيدان يك كران بالا براي مسئله باغ ارائه دادند. آن ها براي مجموعه نقاط مفروض خط 3-نقطه وجود دارد. ⌊ n(n􀀀3) 6 ⌋ + نشان دادند كه حداكثر 1 در سال 2020 ميلادي دو رياضيدان با نام هاي پادمنابهان و شوكلا اين مسئله را در فضايي جديد، فضاي تصويري روي ميدان هاي متناهي، بررسي كردند؛ در حالي كه گرين و تائو اين مسئله را در فضاي تصويري روي اعداد حقيقي مورد بررسي قرار داده بودند. پادمنابهان و شوكلا مجموعه ي نقاط را در صفحه ي تصويري روي يك ميدان متناهي در نظر گرفتند و كران گرين و تائو را در اين فضا براي اين مسئله مورد بررسي قرار دادند. آن ها با استفاده از قانون گروه خم هاي بيضوي روي ميدان هاي متناهي نمايش هاي گروهي براي مسئله باغ روي ميدان هاي متناهي مطابق با كران گرين و تائو و مثال هايي كه در آن كران بالاي حداكثر تعداد خطوط 3-نقطه با كران معرفي شده توسط گرين و تائو مطابقت ندارند، ارائه كردند.

215851

رياضي كاربردي (رمز و كد)

رياضي

دانشگاه صنعتي اصفهان

مجتبي فدوي

رامين جوادي، سجاد لكزيان

رضا رضائيان فراشاهي