رمزنگاري مبتني بر گروه نگاشت دو خطي و بررسي مسائل سخت

كارشناسي ارشد

نگاشت‌هاي دو خطي تا قبل از اين كه در طراحي الگوريتم‌هاي رمزنگاري مورد استفاده قرار گيرند ابتدا به عنوان ابزاري براي حمله به سيستم‌هاي رمزنگاري مبتني بر خم‌هاي بيضوي مطرح بودند، تا اين كه در حدود سال 2000 ميلادي و با افزايش تحقيقات در رمزنگاري از گروه نگاشت‌هاي دو خطي براي طراحي پروتكل تبادل كليد ديفي-هلمن استفاده شد، هر چند كه اين طرح ويژگي‌هاي لازم امنيتي را نداشت اما به دليل ابزار نويني كه در آن استفاده شده بود بسيار مورد توجه قرار گرفت و از اين جا به بعد بود كه ميل به تحقيقات رمزنگاري به سمت نگاشت‌هاي دوخطي و گروه نگاشت‌هاي دو خطي سرازير شد. پروتكل‌هاي رمزنگاري به سختي برخي مشكلات محاسباتي كه بر پايه مسائل سخت رياضياتي است، براي امنيت‌شان، استوار هستند. در اين پايان‌نامه ما به طور خلاصه، روابط شناخته شده بين فرضيات رمزنگاري را با گروه نگاشت‌هاي دوخطي را به گونه‌اي مطرح مي‌كنيم كه اگر يك مسئله به راحتي حل شود آن‌گاه يك مسئله ديگر را مي‌توان در زمان چندجمله‌اي حل كرد. پس از بيان فرضيات ذر رمزنگاري مبتني بر نگاشت دوخطي به بررسي روابط اضافي بين آن‌ها مي‌پردازيم. در ابتدا نشان مي‌دهيم كه فرض ديفي-هلمن محاسباتي بر فرض ديفي-هلمن دوخطي يا فرض وارون‌سازي آن دلالت دارد. در ادامه نشان مي‌دهيم كه يك خود نگاشت دوخطي مفيد در رمزنگاري وجود ندارد، اگر وجود داشته باشد ممكن است به عنوان ابزاري براي چندين كاربرد ديگر در رمزنگاري استفاده شود. (مانند نگاشت‌هاي چندتايي). به عنوان يك نتيجه فرعي نشان مي‌دهيم كه يك وارونگي ثابت شده از يك نگاشت دوخطي با يك خاصيت يكسان، غير ممكن است؛ و در نهايت اظهار مي‌كنيم كه يك خود نگاشت دو خطي پيشنهاد شده در [31] اساسا خود دوخطي نيست .

195711

دانشگاه علم و صنعت ايران

دكتر زهره مستقيم

رياضي محض- جبر- رمزنگاري

دكتر مهدي علائيان