روشهاي عددي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي براي حل برخي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي

دكتري تخصصي

در اين رساله، به مطالعه و بررسي روشهاي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي پرداخته شده است. توابع پايه‌اي شعاعي ابزار توانمندي براي محاسبه جوابهاي تقريبي در ابعاد بالا و نواحي هندسي متنوع بوده و داراي مرتبه همگرايي نمايي بالقوه و مستقل از شبكه بندي مي‌باشند. اما ماتريس سيستم متناظر با آنها با افزايش تعداد نقاط درونيابي، بزرگ، چگال و بدوضع مي‌شود. همچنين با كاهش پارامتر شكل ϵ در توابع پايه‌اي شعاعي دقت افزايش مي‌يابد ولي ماتريس سيستم متناظر به شدت بدوضع مي‌شود و از مرحله‌اي به بعد مانع دست يابي به دقت بيشتر مي‌شود. براي غلبه بر اين قبيل مشكلات، نياز به روشهاي موضعي و پايدار در توابع پايه‌اي شعاعي مشهود است. در اين رساله ما توجه مان را روي روش تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي RBF-FD منعطف نموده ايم. يك روش پايدار سراسري براي توابع پايه‌اي شعاعي گاوسي بر اساس بسط چندجمله ايهاي تواني، چندجمله ايهاي چبي شف و توابع مثلثاتي و استفاده از تجزيه QR موسوم به روش RBF-QR، ارائه شده است. ما فرم موضعي اين روش،يعني تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي گاوس پايدار، موسوم به روش RBF-QR-FD را براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي گسترش داده ايم. روش موضعي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي RBF-FD)) و روش سراسري توابع پايه‌اي شعاعي (GRBF) را به طور كامل براي حل عددي معادله كارتوج ديوايرس برگر تعميم يافته شرح داده ايم و همچنين روش موضعي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي پايدار گاوسي (RBF-QR-FD) براي حل عددي معادله سينوس هايپربوليك-گوردون شرح داده شده است. هر دو معادله وابسته به زمان مي‌باشند كه در حل آنها ما مشتقات زماني را با استفاده از روش ضمني ‐θوزني و تفاضلات متناهي كلاسيك تقريب زده ايم و سپس مشتقات مكاني، از روشهاي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي محاسبه شده است. نهايتا، يك دستگاه معادلات خطي بزرگ، تنك و خوش وضع توليد مي‌شود كه با حل آن مي‌توانيم جواب تقريبي معادلات مذكور را در ترازهاي زماني مختلف بدست آوريم. دقت و كارايي محاسباتي اين روش ها با مثالهاي متنوعي مورد بررسي و آزمون قرار گرفته است.

193929

دانشگاه علم و صنعت ايران

دكتر مرتضي گرشاسبي

رياضي كاربردي - آناليز عددي

دكتر جليل رشيدي نيا