الگوريتم لندوبر در حل مسايل شدني خطي و كاربرد آن در بازسازي تصوير

دكتري

پيدا كردن يͷ نقطه در اشتراك تعدادي مجموعه محدب، يͷ مسئله پركاربرد و مشترك بين بخش هاي مختلف رياضيات و علوم فيزيͺr است. اين مسئله تحت عنوان مسئله شدنr محدب كه ما آن را به اختصار CFP مr ناميم شناخته مr شود. مسئله شدنr محدب تاريخچه اي طولانr و غنr در رياضيات كاربردي دارد كه حداقل به قرن نوزدهم برمr گردد. كاربردهاي اين موضوع در رياضيات و علوم فيزيͺr شامل حوزه هاي وسيعr است، از جمله: تصويربرداري پزشͺr و پرتو درمانr(پرتونگاري)، ميͺروسͺوپ الͺترونr، پردازش سيͽنال، مينيمم سازي توابع محدب غير هموار و ... . هرگاه مجموعه هاي محدب به صورت معادلات يا نامعادلات خطr باشند مسئله بوجود آمده را يͷ مسئله شدنr خطr (LFP) مr نامند. دستگاه هاي بدوضع معادلات خطr كه معمولا هنگام گسسته سازي انواع خاصr از تبديلات انتگرالr بوجود مr آيند يͺr از نمونه هاي بارز مسائل شدنr خطr به حساب مr آيند. مسئله بازسازي تصوير يͷ نمونه ي شناخته شده مr باشد كه مr تواند با به كارگيري تبديل رادون به صورت يͷ مسئله شدنr خطr مدل بندي شود. از آنجايي كه دستگاه هاي معادلات خطr بوجود آمده، به طور معمول بزرگ، تنك و بدوضع مr باشند، لذا بͺارگيري روش هاي تكراري (به جاي روش هاي مستقيم ) براي حل اين دستگاه ها امري اجتناب ناپذير است. در اين رساله ما به بررسr يͷ روش عمومr تكراري بلوكr مبتنr بر الͽوريتم لندوبر خواهيم پرداخت كه بسياري از الͽوريتم هاي تكراري شناخته شده از قبيل T AR ، AV C ، AV C I B و M I C حالت هاي خاصr از آن مr باشند. هنگام به كارگيري روش هاي تكراري بلوكr مبتنr بر الͽوريتم لندوبر، براي حل يͷ دستگاه بدوضع از معادلات خطr، در ابتدا معمولا خطا كاهش مr يابد اما پس از چند تكرار، بسته به مقدار اختلال موجود در داده ها و ميزان بدوضعr دستگاه، خطا شروع به افزايش مr كند. اين پديده شبه همͽرايي ناميده مr شود. در اين رساله ما به بررسr رفتار شبه همͽرايي براي اين روش ها پرداخته و يͷ كران بالا براي خطاي داده (خطاي اختلال ) بدست مr آوريم. براساس اين كران، راه هاي جديدي براي تعيين پارامترهاي آزاد به منظور كنترل شبه همͽرايي پيشنهاد داده، سپس كارآمدي راه كارهاي پيشنهادي را به وسيله مثال هايي كه از پرتونگاري پزشͺr آمده اند تاييد مr كنيم. در فصل اول پس از شرح مسئله، برخr تعاريف و قضاياي مقدماتr مورد نياز را خواهيم آورد. در فصل دوم مروري اجمالr به برخr از روش هاي تكراري كه در حل مسئله شدنr خطr به كار مr روند خواهيم داشت. در فصل سوم آناليز دقيقr از رفتار شبه همͽرايي در روش هاي تكراري بلوكr را انجام داده و راه كارهايي براي كنترل اين پديده پيشنهاد خواهيم كرد. درفصل چهارم ما يͷ حالت تعميم يافته از روش هاي تكراري بلوكr را ارائه خواهيم كرد كه علاوه بر پوشش روش هاي تكراري موجود، به ما امͺان استفاده از روش هاي تكراري جديد با قابليت هاي بيشتري را نيز خواهد داد. در فصل پنجم يͷ خانواده از روش هاي تكراري بلوكr مبتنr بر افرازبندي ستونr ماتريس ضرايب، براي حل دستگاه معادلات خطr در نظر گرفته و به آناليز همͽرايي آن مr پردازيم. در اين خانواده پارامترهاي تخفيف و ماتريس هاي وزن مr توانند بعد از هر تكرار به روزرسانr شوند. به علاوه ما اجازه داريم بعد از هر چرخه (دور) نحوه بلوك بندي را نيز تغيير دهيم. واژگان كليدي: الͽوريتم لندوبر، روش هاي تكراري بلوكr، شبه همͽرايي، بازسازي تصوير

190113

دانشگاه علم و صنعت ايران

دكتر احمد گلبابايي

رياضي كاربردي

دكتر تورج نيك آزاد