وجود و رفتار مجانبي جواب‌هاي برخي معادلات انتگرالي و معادلات با مشتقات جزئي بيضوي

در اين رساله ابتدا يك نتيجۀ وجودي براي معادلات انتگرالي مرتبۀ دوّم خطي و غيرخطي فردهولم با استفاده از قضيۀ نقطه ثابت ادلشتين اثبات مي‌كنيم و سپس حل‌پذيري معادلۀ انتگرالي مرتبۀ دوّم فردهولم را با استفاده از يك قضيۀ نقطه ثابت تحت شرايط مناسب كه براي نگاشت‌هاي به طور يكنواخت ليپ‌شيتز اثبات كرده‌ايم، بررسي مي‌كنيم. همچنين، با تكنيك اندازۀ نافشردگي تعميمي از قضيۀ نقطه ثابت داربو ارئه كرده و با استفاده از آن يك قضيۀ epsilon- نقطه ثابت در فضاهاي باناخ و همچنين، تعميمي از قضيۀ نقطه ثابت داربو-سادوفسكي در فضاهاي به طور يكنواخت محدب ارائه مي‌دهيم. ‎‎‏ما همچنين معادلات بيضوي به صورت ( L u = lambda f ( x‎ , ‎u در يك ناحيۀ كران‌دار با مرز هموار در R^N را در نظر مي‌گيريم كه در آن L ‎ يك عملگر مشتق به طور يكنواخت بيضوي و f يك تابع با شرايط مناسب است. رفتار مجانبي جواب‌هاي اين معادله را مورد بحث و بررسي قرار داده و كران‌هاي بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادله بدست مي‌آوريم و نتايج بدست آمده را در مسأله انفجار در يك شار بكار مي‌گيريم. همچنين، حالت خاصي از اين معادله، يعني معادلۀ (‎‎ - ‎Delta u = lambda f ( x‎ , ‎uرا در نظر گرفته و يك كران پاييني براي جواب‌هاي بالايي اين معادله بدست مي‌آوريم و چند كران بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادله ارائه مي‌دهيم كه نتايج قبلي بدست آمده را به طور قابل ملاحظه‌اي اصلاح مي‌كند. در انتها، معادلات بيضوي غيرخطي به صورت ‎Delta _ { p } u = lambda rho ( x ) f ( u )‎- را در نظر مي‌گيريم كه در آن Delta _ p عملگر p- لاپلاسين است. يك كران پاييني براي جواب‌هاي بالايي اين معادله و كران‌هاي بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادلات بدست مي‌آوريم و نتايج بدست آمده را براي پيدا كردن يك كران پاييني براي اوّلين مقدار ويژۀ عملگر p- لاپلاسين بكار مي‌گيريم.

189809

دانشگاه علم و صنعت ايران

دكتر محمد باقر قائمي

رياضي محض - آناليز

دكتر اسدالله آقاجاني