اپراتورهاي الگوريتمي براي حل مسائل شدني محدب و كاربرد آنها در تصويربرداري پزشكي

يك مساله بسيار متداول در رياضيات، مساله شدني محدب مي‌باشد كه كاربردهاي بسياري در حوزه مختلف علوم نظير تصويربرداري پزشكي و پرتو درماني(پرتونگاري)، ميكروسكوپ الكتروني، پردازش سيگنال، مينيمم‌سازي توابع محدب غير هموار و ... دارد. يك روش متداول براي حل اين مساله، استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي تكراري مي‌باشد. اين روش‌هاي تكراري داراي ساختارهاي الگوريتمي متفاوتي نظير روش‌هاي تماماً دنباله‌اي (يا همزمان) و يك ساختار كلي‌تر، كه بر اساس ميانگين رشته‌ها مي‌باشد، مي باشند. ساختار اصلي مورد استفاده ما در اين رساله بر اساس الگوريتم ميانگين ‌رشته‌ها مي‌باشد كه اين الگوريتم در عمل براي محاسبات موازي مناسب مي‌باشد و درنتيجه قادر است مسائلي با اندازه بسيار بزرگ را حل كند.‎ اين رساله بر روي استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي غيرخطي در حل مساله شدني محدب و كاربرد آن‌ها در تصويربرداري پزشكي متمركز مي‌شود. در ابتدا خانواده‌هاي مختلف اپراتوري در فضاي هيلبرت را معرفي مي‌كنيم. اين خانواده‌ها شامل اپراتورهاي تصويرمتعامد، تصوير زيرگراديان، برشي تخفيف‌يافته و شبه‌نامبسوط اكيد مي‌باشند. براي يك زيرخانواده از اپراتورهاي شبه‌نامبسوط اكيد، ويژگي شبه‌انقباضي را با يك ويژگي ضعيفتر كه GPP ناميده مي‌شود جايگزين مي‌كنيم كه نيازي به شرط پيوسته بودن اپراتورها ندارد. همگرايي دنباله توليد شده بر اساس ميانگين رشته‌هاي ساخته شده از اعضاي خانواده با ويژگي ‎GPP‎ به نقطه ثابت خود همگراست. علاوه براين، براي اولين بار، تاثير استفاده از وزن‌هاي بهينه بجاي استفاده از پارامترهاي تخفيف بهينه مورد بررسي قرار گرفته است. در ادامه، يك تابع طول گام براي سرعت‌دهي به فرايند نقطه ثابت الگوريتم ميانگين رشته‌هاي اپراتورهاي برشي تخفيف يافته اكيد معرفي مي‌كنيم و نشان مي‌دهيم اين فرايند به جواب همگراست. همچنين تابع طول گام و همگرايي را براي خانواده اپراتورهاي شبه‌نامبسوط اكيد بدست مي‌آوريم. در پايان، روش‌هاي بازسازي غيرساكن تكراري تصوير شده همزمان كه روش‌هاي متداولي در حوزه بازسازي تصاوير پزشكي م‌باشند را مورد بررسي قرار مي‌دهيم و با استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي، همگرايي آن‌ها را اثبات مي‌كنيم. همچنين، فرايند موجود در دستگاه‌هاي سي تي اسكن را بصورت يك دستگاه معادلات خطي شدني مدل‌سازي كرده و وزن‌هاي آماري تقطيع شده را براي افزايش سرعت همگرايي پيشنهاد مي‌كنيم.

189580

دانشگاه علم و صنعت ايران

دكتر احمد گلبابايي

رياضي كاربردي - آناليز عددي

دكتر تورج نيك آزاد